戴德金分割與1為何等於0.9…(無限循環)

所有有理數皆可表示為兩個整數的比值，形如 \(\frac{p}{q}\) ，而無理數就是不能的那些，但是這個定義太含糊了，以至於許多年來數學家不願承認無理數是數字 用 \(\frac{p}{q}\) 就能輕鬆證明 \(\sqrt{2}\) 不是有理數，這裡就不贅述

有理數有兩個性質

• 稠密性(任意兩個有理數之間必然有無窮多個有理數)
• 不完備性(任意兩個有理數之間必然有無窮多個無理數，故而不能構成連續性，即不完備)

戴德金分割定義了一種形式，即我們可以在任何一點將有理數(集合 \(Q\))分割為兩集合 \(A\), \(B\)

1. \(A \ne \varnothing\)
2. \(A \ne Q\)
3. If \(x, y \in Q\), \(x < y\), and \(y \in A\), then \(x ∈ A\)
4. If \(x \in A\), \(\exists y \in A\) such that \(y > x\)

1 和 2 非常直觀，你不能切出個什麼都沒有的集合，1 就是把 \(A\) 都切沒了，反之 2 就是把 \(B\) 切到一個不剩 3 有點難理解，這是什麼意思呢？這是在說 \(A\) 是向下關閉(closed downwards)的，小於 \(A\) 中元素的任意有理數元都比然屬於 \(A\) 4 則是說明了一種情況為 \(A\) 沒有最大的有理數存在 e.g. \(A = \{x | x \in Q, x < 2\}\) 這裡 \(x\) 到 \(2\) 之間也會有無窮多有理數故沒有最大值

那麼我們可以推論出三種分割

1. \(A\) 有最大元, \(B\) 沒有最小元(即剛好分割於有理數且該有理數屬於 \(A\))
2. \(A\) 沒有最大元，\(B\) 有最小元(即剛好分割於有理數且該有理數屬於 \(B\))
3. \(A\) 與 \(B\) 皆沒有最大最小元(即分割於無理數上)

其中可以得出第三種分割點即為無理數

首先我們用 \(0.\overline{\rm 9}\) 分割出集合 \(A\), \(B\) 用 1 分割出集合 \(C\), \(D\)

顯而易見的是我們只要證明 \(A \equiv C\) 即可

• 對所有 \(a \in A, a < 0.\overline{\rm 9}, a < 1, a \in C\) (利用 3，\(0.\overline{\rm 9}\) 無論如何不大於 \(1\) 故可推論 \(a\) 至少小於 \(1\))
• 令 \(c \in C, c < 1\)，其中 \(c\) 可表示為 \(\frac{p}{q}\)，故 \(1-\frac{p}{q} > 0\)，且 \(1-\frac{p}{q} \leq 1-\frac{1}{q}\)，且必然可以找到 \(n\) 符合形式 \(\frac{1}{q} > (\frac{1}{10})^n\)， 那麼 \(1-\frac{p}{q} \leq 1-\frac{1}{q} < 1-(\frac{1}{10})^n < 0.\overline{\rm 9}\)，即證明 \(c \in A\)

綜合即知 \(A\) 就是 \(C\)，即 \(0.\overline{\rm 9} = 1\)