發明矩形面積公式

在課堂上，矩形的面積公式被寫成 \(lw\) 或是 \(l \times w\)（讓我們假設長為 \(l\)，寬為 \(w\)）。當解釋為何如此時，常常告訴學生這是因為矩形可以被拆解成 \(lw\) 個單位正方形。但說到底單位正方形的面積也是用同一個公式算出來的，所以我們不應滿足於這樣的解釋，那麼我們又要怎麼推導出我們常用的矩形公式呢？這就是這篇文章想要說明的事情。接下來就讓我們進入直覺的世界。

根據日常經驗，我們可以知道不管面積怎麼定義，都和長寬有關係。我們可以定義出一個函數 \(A\)（Area），面積可以表述為

\[ A(l, w) \]

第二件事，當我們把寬加倍，面積也應該加倍。這可以表述為

\[ A(l, 2w) = 2A(l, w) \]

事實上，不一定要是 \(2\)，因此我們可以延伸為

\[ A(l, nw) = nA(l, w) \]

反過來也可以套用到長上，所以以下公式也成立

\[ A(nl, w) = nA(l, w) \]

現在我們把 \(l\) 看成 \(l1\)，把 \(w\) 看成 \(w1\)，於是以下公式也成立

\[ A(l, w) = lA(1, w) = lwA(1, 1) \]

也就是說到此我們證明了 \(A(l, w)\) 的面積是 \(lw\) 個 \(A(1,1)\) 個單位正方形的面積，而單位正方形多大？我們不知道，我們當然可以讓它是方便的 \(1\)，但假設是 \(30\)，也是對的。因此我們的面積公式可以是 \(A = lw\)，也可以是 \(A = 30lw\)。

這套想法可以輕易的推到體積上，以下三個函數都應該是對的

1. \(A(na,b,c) = nA(a,b,c)\)
2. \(A(a,nb,c) = nA(a,b,c)\)
3. \(A(a,b,nc) = nA(a,b,c)\)

因此我們應該可以相信我們對 \(n\) 維空間的直覺，寫下

\[ V(l_1,l_2,l_3,...,l_n) = l_1l_2l_3...l_nV(1,1,1,...,1) \]

所以數學發明的過程不只告訴我們常見的公式從何而來，還提醒了我們單位面積不必然要是 \(1\) 這個概念。