數列

數列

\[ a_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ... + \frac{1}{2^n} \]

我們可以知道 \(a_n\) 其值等同 \(1-\frac{1}{2^n}\)。不過這是為什麼呢？乍看之下很難直接得出這個結論，所以我們可以作圖來幫助思考。

\(a_1\) 可以視為一個正方形對半之後的左半邊的長方形，或是正方形扣除右半邊的長方形。接下來 \(a_2\) 可以視為加上右半邊的長方形對半之後的正方形，或是正方形扣除右半邊的長方形對半之後的正方形。記成數式之後就是

1. \(a_1 = 1-\frac{1}{2}\)
2. \(a_2 = 1-\frac{1}{4} = 1-\frac{1}{2^2}\)

由此很容易想像接下來每次都是加上下一次對半的部分，或是全部減掉下一次對半的部分，因此我們知道

\[ a_n = 1-\frac{1}{2^n} \]

更進一步，我們可以推論數列

\[ a_n = \frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + ... + \frac{2}{3^n} \]

1. \(a_1\) 等同 \(\frac{2}{3}\) 或是 \(1 - \frac{1}{3}\)
2. \(a_2\) 等同 \(\frac{2}{3} + \frac{2}{9}\) 或是 \(1 - \frac{1}{9}\)
3. \(a_3\) 等同 \(\frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27}\) 或是 \(1 - \frac{1}{27}\)

這是一樣的概念，圖就是每次切掉 \(\frac{1}{3^n}\) 等同每次加上 \(\frac{2}{3^n}\)

因此我們可以推廣到數列

\[ a_n = \frac{k-1}{k} + \frac{k-1}{k^2} + \frac{k-1}{k^3} + ... + \frac{k-1}{k^n} \]

等同

\[ 1 - \frac{1}{k^n} \]

因為我們每次都剩下 \(\frac{1}{k^n}\)