群元素的階層與性質

在群中，我們用指數來表達累積的運算，例如 \(g \cdot g \cdot g = g^3\)。並且為了符合指數律令 \(g^0 = e\)

指數律是我們想使用這種表示法的主要理由

1. 群元素的階（Order）的定義

任意一個元素 \(g\) 的階被寫成 \(|g|\)。定義是當 \(g^n = e\) 而 \(n\)

這時，說 \(|g| = n\)。但這個正整數也可能不存在，這時候會說 \(g\) 有無限階，寫成 \(|g| = \infty\)。

你可能會發現為什麼 \(0\) 不算在階裡面，而是定義成正整數 \(\mathbb{N} \setminus 0\)，畢竟 \(g^0 = e\) 嘛！這是因為這樣定義下去 \(|g|\) 就會全都是 \(0\)，階就不有趣了。

對所有 \(n > 0\) 來說 \(g^n = e\) 蘊含 \(|g|\) 能整除 \(n\)

證明的第一步驟是用餘式定理闡述 \(|g|\) 跟 \(n\) 的關聯，我們要證明下式裡 \(r = 0\)

\[ n = |g| \cdot m + r \]

根據群表示法去改寫證明 \(g^r = e\)

那麼 \(r\) 等於 \(n - |g| \cdot m\)
改寫回群的表達方式則是 \(g^r = g^{n - |g| \cdot m}\)
根據指數律 \(g^{n - |g| \cdot m} = g^n \cdot {g^{|g|}}^{-m}\)
再根據定義改寫 \(g^n \cdot {g^{|g|}}^{-m} = e \cdot e^{-m} = e\)
- 因為 \(g^n = e\)
- 跟 \(g^{|g|} = e\)
所以我們可以說 \(g^r = e\)

根據餘式定理 \(r \ge 0\)，且 \(n - |g| \cdot (m + 1) \lt 0\)，所以 \(r \lt |g|\)

綜合部分，只能得出 \(r \ne |g|\) 但是 \(g^r = e\)，那麼根據指數的定義 \(r\) 只能是 \(0\)。